이 책을 끝까지 읽어낼 수 있을지 매우 궁금하다. 끝까지 읽기는 읽되 제대로 이해할 수 있을까. 아마도 안될 것이다. 한 번 읽어볼까, 끝까지, 제대로 이해하면서. 피보나치 수열도 실제로는 인도인이 이미 기원전에 만든 것이라는 이야기도 있다.
[ 제1장 ] 수학의 기원
수학의 기원을 아라비아 숫자의 발명과 위치기수법에서 찾는 모양이다. '830년 아랍인들이 바그다드의 '지혜의 궁'에 이집트, 그리스, 인도의 고전을 집대성하면서 새로운 과학과 문명이 탄생하였다'고 지즈강은 말한다. 그리고 피보나치.
“1202년 이탈리아의 수학자 피보나치는 당시 수학서의 결정판인 <산술서(Liber Abaci)>를 저술하였다. 이는 인도숫자를 유럽에 최초로 소개한 책이었다. 이 책은 첫 장부터 다음과 같이 시작된다.
다음은 인도인의 9개의 숫자다. 987654321
또한 아라비아인들이 '영'이라고 부르는 부호 '0'이 있다. 이 부호들을 이용하면 어떤 수도 모두 표시해낼 수 있다.”(26쪽)
피보나치 수열의 일반항 구하는 방법(2차방정식으로 왜 바뀌지?) : https://j1w2k3.tistory.com/330
[수1 이론 17탄] 피보나치수열 기원과 일반항 [QR]
01. 모바일로 볼때는 가로로 02. 즐겨찾기, 네이버 이웃 사이드바에서... 01. 피보나치 수열을 시작하며… http://www.flickr.com/photos/eustaquio/4101603579/ 개인적으로 수학 시험을 떠나서 아주 관심이 많은
j1w2k3.tistory.com
[ 제2장 ] 그리스 수학의 번영
BC 323년 알렉산더가 죽고 이집트를 차지한 프톨레마이오스 1세는 알렉산드리아에 예술궁전 무세이온museion - 음악의 신 뮤즈에게 바치는 궁전을 세워 고대 학술문화의 중심지가 되었다. 여기에서 프톨레마이오스는 유클리드에게 기하학을 배웠다. 유클리드는 모든 개별 수학지식을 엄밀한 체계를 갖춰 정리할 필요를 느껴 기하학 원론을 편찬하게 되고, 옥시린쿠스에서 발견된 파피루스에서 그 필사본이 발견된다. 기록으로 남아있다는 것은, 위대하기 때문에 끝없이 복사되었기 때문이리라.
"오늘날까지 전해지는 <기하학 원론>은 총 13권이며 주요 내용은 평면기하(6권), 수의 이론(3권), 무리수 이론(1권), 입체기하(3권)이다. 그리고 23개의 정의, 5개의 공준, 5개의 공리, 465개의 명제들을 담고 있다. (중략 / 유클리드 기하학은) 소수의 원시 명제와 몇몇 증명이 필요 없는 공리 및 공준에서 출발하여 연역 추리를 통해 전체 기하학 지식을 유도 (중략) 인류 역사상 최초로 연역 추리의 업적을 쌓았으며 인간 이성의 사유를 이끄는 이정표가 되었다." (40~6쪽)
아르키메데스( ~ BC 212)기 히에론의 순금 금관 여부를 알려면, 단 하나의 공식만 필요하다. 즉,
1) 무게 W인 왕관을 물에 넣었을 때 넘치는 물의 양 = F
2) 무게 W인 순금을 넣었을 때의 넘치는 물의 양 = F1
3) F = F1이면 순금 금관이고,
4) F와 F1이 같지 않으면, 은을 섞은 왕관이 된다.
그런데, 아르키메데스 순금 금관뿐만 아니라, 금과 은을 섞은 합금 금관의 경우에도, 왕관을 망가뜨리지 않고 알아내는 방법이 있다면서 긴 수식을 만들어낸다. 이게 쉬우면서 어려운데, 아주 잠깐만 시간을 내면, 유도할 수 있다. 이 과정을 눈으로 읽어서 이해할 수 있는 사람이라면 수학의 재능이 있으리라. 일반인은 다 써 봐야 비로소 이해가 된다.
1) 무게 W인 합금 왕관이 있고, 이 왕관은 금 무게 W1과 은 무게 W2로 만들어졌다. W = W1 + W2 (합금 비율은 모른다)
2) 무게 W인 합금 왕관을 물에 넣었을 때 넘치는 물의 양 = F
3) 무게 W인 순금을 넣었을 때의 넘치는 물의 양 = F1
4) 무게 W1인 순금을 넣었을 때의 넘치는 물의 양 = x (합금 비율을 모른다고 가정)
5) W : F1 = W1 : x xW = F1W1 x = F1W1/W
6) 무게 W인 순은을 넣었을 때의 넘치는 물의 양 = F2
7) 무제 W2인 순은을 넣었을 때의 넘치는 물의 양 = y(합금 비율을 모른다고 가정)
8) W : F2 = W2 : y yW = F2W2 y = F2W2/W
9) F = W1의 금을 넣었을 때 넘치는 물의 양 x + W2의 은을 넣었을 때 넘치는 물의 양
10) F = x + y 5), 8)을 대입
11) F = F1W1/W + F2W2/W FW = F1W1 + F2W2 F(WI+W2) = F1W1 + F2W2 FW1 + FW2 = F1W1 + F2W2
12) FW1 - F1W1 = F2W2 - FW2 W1(F - F1) = W2(F2 - F) W2/W1 = F - F1 / F2 - F
13) 금(W1)과 은(W2)를 섞어서 왕관을 만들 경우의 흘러넘치는 물의 양을 구할 수 있다.
14) 즉, 금은 합금으로 만든 왕관의 합금비는 왕관을 다시 녹여서 무게를 재지 않고, 넘치는 물의 양만 측정해도 알 수 있다.
아르키메데스의 묘비에 새겨 있다는, '구의 부피와 겉넓이는 모두 외접하는 원기둥 부피 및 겉넓이의 2/3'라는 사실도 증명해 봐야 하지 않을까? (일단 과제로 놔두자. 진도를 나가기 위해서 어쩔 수 없이)
[ 제3장 ] 중국 수학의 고고한 품격
태양의 높이를 측정하다니. 태양까지의 거리를 구한다는 말인가? 이것도 계산해 봐야 한다. (음) 이것은 엉터리일 가능성이 높다. 아무리 긴 막대와 최대한 멀게 움직인다 해도, 한 지역에서 같은 시간에는 같은 그림자가 생기는 것으로 봐야 한다. 안되는 것을 계산하려다가 하루의 시간을 허비했다. 한국이나 중국에서는 수학자들이 너무 적었던 것이 아닐까, 너무 아쉬운 일이다.
"막대기 한 개를 세워 해 그림자를 잰 후, 막대기 두 개를 세워 태양의 고도를 측정한다. 고대 산술 문헌의 기록에 따르면 낙양성의 평지에 남북 방향으로 높이 8척(약 2.4미터)의 장대 두 개를 세운다. 이떄 둘 사이의 거리는 최대한 멀게 한다. 같은 날 낮에 각각 해 그림지의 길이를 잰다. (중략) 태양의 고도 = (막대기의 높이X막대기 사이의 거리)/그림자 길이의 차 + 막대기의 높이이다." (63쪽)
원의 넓이를 구하는 유휘의 할원술(263년)은 맞다. 다만, 반원의 둘레를 자로 잴 수 있다고 생각한 것은 원과 직선의 구분을 분명히 하지 못한 측면이 있다.
"<구장산술>에는 원의 넓이를 구하는 공식 '반원의 둘레(πr) x 반지름(r)'이 나온다. 이는 '원의 넓이'가 '가로 길이가 반원의 둘레'이고 '세로 길이가 반지름'인 직사각형의 넓이와 같다는 의미다. 유휘는 '할원술' 즉 원을 분할하여 사각형으로 조합하는 기하학 방법을 이용하여 원의 넓이를 구하는 공식의 정확성을 증명했다." (66쪽)
(남거나 부족한 경우의 계산법도 재미있어 보이는데, 일단 그냥 넘어간다.)
(파스칼의 삼각형은, 주세걸의 사원옥감의 2항식 계수 전개도가 700년 빠르게 완성하였다고 하니, 역시 확인해 볼 일이다.)
[ 제4장 ] 동서양을 하나로 묶는 아라비아 수학
아랍의 속도는 놀랍다. 622년에 종교를 세우고, 632년에 아라비아반도를 통일하고 연이어 아랍제국을 건설한다. 압바스 왕조(750~847)는 겨우 백년을 유지했는데도 경제, 교통, 사회, 문화, 과학의 발전에 힘쓴다. 중국, 인도, 페르시아, 그리스의 모든 지식을 흡수하기 위해 '백년 번역운동'을 벌였고, 150년을 유지했다는 것이다. 바그다드의 지혜의 궁(바이트 알 히크마), 마드라사라는 학교(와 도서관), 카이로의 지혜의 궁(다르 알 일름), 다마스쿠스의 150여 개의 학교(와 부속 도서관), 마라가의 천문대 등등 지식에 굶주린 사람들처럼 공부를 즐겼다. 특히 재미있는 것은, 프톨레마이오스 사전을 번역한 아랍학자들이 이 책을 위대함의 극치라는 의미로 '알마게스트'라 이름붙인 것이다. 천동설에 입각한 불완전한 천체 운동 설명서였지만 당시로서는 8세기에서 15세기까지는 대단한 진리로 받아들일 수밖에 없었을 것이다.
"처음에는 그리스 문자로 수를 표기하다가 나중에 인도 숫자를 받아들였다. 이를 다시 개량한 후 12세기경 유럽에 전파했다. 이런 이유로 유럽인은 이 숫자를 '아라비아 숫자'라고 부르게 되었다. 이들 숫자는 주로 알 콰리즈미(780~850)의 저서를 통해 유럽에 전래되었다." (91쪽)
알고리즘이라는 용어의 기원에 대해 위키백과는 알 콰리즈미(~850)의 라틴어 표기에서 비롯되었다고 했는데, 지즈강은 콰리즈미의 저서 <인도 숫자에 대한 알 콰리즈미의 서>의 라틴어 번역서 첫머리에 'Dixit Algorizmi ... (이른바 계산법이란...)'에서 유래했다고 한다. 알 콰리즈미는 현재 우즈베키스탄의 도시인 히바출신(이 부분이 위키백과와 다르다. 위키에서는 집안이 히바 출신이라고 쓰고 있다. 이럴 경우 대개는 위키가 틀린 것으로 봐야 하는데, 중국 학자의 주장이라 신빙성이 떨어진다. 지즈강은 우즈베키스탄 히바에 알 콰리즈미의 기념 조각상이 있다고 제시하고 있다.)으로 마드라사에서 공부했고, 바그다드의 지혜의 궁에서 활약했다.
이차방정식의 해법을 제시한 알 콰리즈미의 저서 '얄 자브르(Al jabr : 복원, 이항하면 부호가 바뀐다) 알 무카발라'에서 대수학(algebra)이라는 단어가 나왔다고 한다. 이차방정식을 도형과 미지수를 이용해 풀어가는 방식을 재미있게 볼 수 있다.
티무르 제국의 울루그베그 천문대의 대장인 알 카시(~1429)는 '원에 대한 논문'에서 원에 내외접하는 다각형을 이용해서 28중근식을 풀어 반지름이 1인 원의 둘레의 길이(= 원주율 = 반지름이 1일 때의 원주의 길이 = 지름이 2일 때의 원주의 길이)를 소수점 아래 16자리까지 구해내어 중국의 조충지가 세운 소수점 아래 7자리까지의 기록을 천년 만에 갈아치운다. 알 카시를 마지막으로 아랍은 과학의 역사에서 사라져 버리고 만다.
[ 제5장 ] 유럽 수학의 르네상스
피보나치 수열이 꽃잎의 수를 나타낸다고 하는데, 과연 그런가? 이것을 어떻게 확인하지? 꽃잎의 수가 1장, 2장, 3장, 5장, 8장, 13장, 21장, 34장, 55장, 89장 등으로 구성되어 있다고 해서 일단 의심이 들었다. 4장, 6장, 7장, 9장, 10장의 꽃잎을 가진 꽃이 없다는 이야기인가 말이다. 그리고 이 수열의 앞수와 뒤수의 분수가 0.618에 근접한다고 해서 황금비율이 만들어진다는 주장은 완전히 엉터리여서 꽃잎 수에 대한 이야기도 믿음이 가지 않는다. 파르테논 신전의 황금비율뿐만이 아니라 황금비율 자체가 존재하지 않는다는 것이, 노성두를 비롯한 많은 학자들의 검증을 받았고, 엉터리 미학지식이라는 것이 확인되고 있기 때문이다. 결국 지즈강의 이 책도 검증이 완벽한 것은 아니며, 받아들일 수 있는 것만을 받아들여야 한다.
스테빈의 10진 소수법. 아무런 고민없이 사용하는 10진 소수법이 네덜란드 독립운동을 하던 회계담당자 시몬 스테빈 Simon Stevin(~1620)에 의해서 개발되었다. 표기는 매우 불편했었지만(나중에 0.----- 으로 발전한 모양이다), 10진 소수법으로 이자율을 관리하기 쉽게 이자표를 만들었으며, 크기 비교를 쉽게 하는데 이 소수법을 사용했다고 한다. 놀라운 일이다.
이자율 비교
당시 사용하던 이자율 : 1/10 1/11 1/12 1/13 -------- 1/20 : 5%~10% 가톨릭의 영향으로 고금리는 없었을까?
스테빈의 개량 이자율 : 1/10 ----------------------------- 5/100
10%와 5%의 이자율을 어떻게 바꾸었는지 알겠는데, 중간의 1/11과 1/12, 1/13은 어떻게 만들었을까?
일단 5, 6, 7, 8, 9, 10%는 5/100, 6/100, ----, 10/100으로 해결한다. 그 사이의 이자율들은 십진법으로 어떻게 단순하게 만들었을까? 5.5%는? 55/1000으로 했을까? 지즈강은 알고 있었을텐데 책에는 나와있지 않아서 추정해 본다.
5/100, 55/1000, 6/100, 65/1000, 7/100, 75/1000, ------, 8/100, 85/1000, 9/100, 95/1000, 10/100=1/10
이 정도로 이자율을 만들어 이자표를 미리 만들어 두면 쉽게 계산이 가능했을 것이다.
네이피어가 개발한 로그는 굉장히 큰 수들의 계산을 간단하게 만들어서 - 미리 계산을 해 두었기 때문에 간단해 진 것이어서 천문학자들을 계산의 고통에서 해방시켰다고 한다. 현실에서 로그를 사용하지 않으니 그 효과를 알 수 없다. 중요한 것은 로그함수의 그래프가 아니라 로그표의 값일 것이다. 게다가 천문학자들이 얼마나 큰 계산을 하는지도 알 수가 없다. 수성의 공전궤도를 계산한다고 해도 축소해서 계산할 것이므로 그렇게 큰 수라는 생각을 못하겠다. 로그에 관해서 다시 공부를 해야 할 모양이다. 또 과제가 생겼으니 기쁘다. 시간이 부족하다. 재미있는 것은 거듭제곱을 표시하는 지수보다 로그가 먼저 개발되었다고 한다. 우리는 먼저 거듭제곱을 배우고 아주 3년이 지난 후에야 로그를 배웠는데.
또 놀라운 것은 +와 - 를 개발한 사람들이 독일 상인들이었다고 한다. 처음에는 p와 m을 사용하다가 이 기호를 만들어 사용했고, 나중에 수학자들이 받아들였다. 곱하기 기호 x를 발견한 사람은 수학자 오트레드인데 알파벳과 헷갈린다고 해서 쉽게 받아들여지지 않았고, 등호 = 를 개발한 사람은 로버트 레코드(~1558)다.
1543년 알베르티(~1472)가 '회화론'에서 '3차원 현실 세계를 2차원 평면에 표현하기'를 설명한 투시법도 재미있는데, 노성두는 원근법을 표현하기 위한 방법이라고 했는데, 지즈강은 사영투사법이라는 수학의 학문 분야를 논한다. 무슨 말을 하려는 것인지는 알겠는데, 필요와 수학의 방법론이 무엇인지 모르겠다.
"눈과 대상물 사이에 유리판을 똑바로 세워 끼운 뒤 광선이 눈 또는 관측점에서 대상물 위의 한 점으로 발사하는 방법을 생각한다. 이들 광선은 투영선 projector라고 부른다. 투영선은 유리판을 통과한 곳에 절단면을 형성한다. (중략) 만약 눈이 서로 다른 두 위치에서 동일한 사물을 보았다면 그리고 두 경우 모두 유리판을 끼웠다면 투영은 서로 달라진다. (중략) 이것이 바로 사영 기하학의 출발점이다. (중략) 17세기에 이르러야 비로소 투시학은 '반경험의 예술'에서 벗어나 사영 기하학이라는 독립된 지학으로 점차 발전해나갔다." (125쪽)
한편, 복식부기를 개발한 파치올리(~1510)는 밀라노에서 다빈치와 함께 수학을 탐구했고, 유클리드의 저서를 번역했다고 한다. 여전히 유클리드 중요했던 모양이다.
[ 제6장 ] 해석기하학에서 미적분까지
해석기하학이란 것이 뭘까? 데카르트가 개발한 좌표 평면에 도형을 올려놓고 수식으로 표현한 것이다. 좌표기하학 또는 카테시안 기하학이라고도 한다. 데카르트가 천장에서 기어다니는 파리를 보고 그 움직임을 벽에서부터의 거리로 표현해 보겠다는 생각을 떠올려서 좌표 평면이라는 개념을 만들었다고 한다. 허접한 것을 관찰해서 흥미로운 발명을 해냈다. 파리만 보면 파리채를 떠올리는 나로서는 범접할 수 없는 영역이다.
"대수학을 철저히 이해했기 때문에 데카르트는 해석기하학을 창안할 수 있었다. 그리고 이를 기반으로 뉴턴과 라이프니츠의 미분법, 나아가 만유인력 문제가 해결되었고, 거대한 뉴턴의 수학체계가 완성될 수 있었다." (131쪽)
한편 페르마는 이차방정식의 최대값을 구하기 위해서 극한의 개념을 생각했다. 그 과정이 참으로 절묘했는데, 책을 통해서 확인하면 더 즐겁다. 다 옮기고 싶지만 참는다. 나중에 다시 이 책을 읽고 싶어서다.
수학, 기하학, 광학 등 분야에서 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로(~1677)는 신학자로서 캠브리지대학교의 트리니티 칼리지와 도서관 건립에 매진하다 47세의 젊은 나이에 세상을 뜬다. 도대체 얼마나 열심히 살았기에 그런가. 인생은 이렇게 화끈하게 살다가 불꽃처럼 살아지는 것이 맞지 않을까 하는 생각이 든다. 나이가 들수록 몸은 둔해지고, 둔해진 몸처럼 생각도 느려지고 한심해져서 온갖 문제만 일으키다가 죽게 된다. 80세가 넘도록 살아본들 얼마나 더 큰 즐거움을 얻겠는가? 그저 노욕만 커져갈 뿐일 것이다.
사이클로이드도 재미있다. 증명을 따라가고 싶어서 일단 이곳에 옮겨둔다. 아마 어렵지 않을 것이다. 그런데, 이렇게 자꾸 문제를 쌓아놓다보면, 나중에 다시 볼 시간이 없을 것이다. 차라리 진도를 나가지 말고 이것을 더 풀고 지나갈까. 그래 그러자. 이번 장만 끝내고. 아, 그런데 나머지 부분이 뉴턴 역학을 일일이 설명하고 있다. 아무래도 이것으로 끝내고, 책을 다시 빌려야 할 모양이다.
dk
(to be continued like reading a testament)
